单调有界数列必有极限在数学分析中，单调有界数列的极限存在性一个重要的定理。该定理说明，如果一个数列是单调递增或递减的，并且其值被限制在一个有限范围内（即有界），那么这个数列必定存在极限。这一重点拎出来说为研究数列的收敛性提供了学说依据。
一、定理
| 内容 | 说明 |
| 定理名称 | 单调有界数列必有极限 |
| 适用对象 | 单调递增或递减的数列 |
| 必要条件 | 数列必须有界 |
| 重点拎出来说 | 数列一定存在极限 |
二、关键概念解释
1.单调数列
-单调递增：对于所有$n\in\mathbbN}$，都有$a_n\leqa_n+1}$。
-单调递减：对于所有$n\in\mathbbN}$，都有$a_n\geqa_n+1}$。
2.有界数列
-如果存在某个实数$M>0$，使得对所有$n$，都有$
3.极限存在
-若数列满足上述两个条件，则无论它是递增还是递减，都一定收敛于一个确定的数值。
三、典型例子
| 数列 | 类型 | 是否有界 | 是否收敛 | 极限值 |
| $a_n=1-\frac1}n}$ | 单调递增 | 有界 | 收敛 | 1 |
| $b_n=\frac1}n}$ | 单调递减 | 有界 | 收敛 | 0 |
| $c_n=(-1)^n$ | 不单调 | 无界 | 不收敛 | 不存在 |
| $d_n=n$ | 单调递增 | 无界 | 发散 | 不存在 |
四、应用与意义
-数学分析基础：该定理是实数系完备性的体现其中一个，也是许多更复杂定理的基石。
-实际应用：在工程、物理和经济模型中，很多序列都是单调且有界的，因此可以利用此定理判断其是否收敛。
-教学价格：帮助学生领会数列的收敛性和极限的概念，是进修微积分的重要一步。
五、注意事项
-仅当数列同时满足单调性和有界性时，才能保证其极限存在。
-若数列只单调但无界，则它会趋向于正无穷或负无穷，不收敛。
-若数列有界但不单调，也不能保证其收敛，例如振荡数列。
小编归纳一下
“单调有界数列必有极限”是数学中一条简洁而有力的定理，它不仅具有严格的逻辑支撑，也在多个领域中有着广泛的应用价格。掌握这一原理有助于深入领会数列的性质和函数的极限行为。
